Cum integrați int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) folosind fracții parțiale?

Răspuns:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Explicaţie:

Trebuie să găsim # A, B, C # astfel încât

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) #

pentru toți #X#.

Multiplicați ambele părți prin # X ^ 2 (2x-1) # a obține

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2Ax + 2BX-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

Coeficienții de echivalare ne dau

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

Și așa avem # A = -2, B = -1, C = 4 #. Substituind acest lucru în ecuația inițială, ajungem

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Acum, integrați termenul pe termen

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 x dx-int

a obține

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Răspuns:

Raspunsul este # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Explicaţie:

Efectuați descompunerea în fracțiuni parțiale

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

Numitorii sunt aceiași, comparați numărătorii

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

Lăsa # X = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

Lăsa # X = 1 / -2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Coeficienți ai # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = C / 2 = -4/2 = -2 #

Prin urmare, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

Asa de, #int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2DX) / x + int (4dx) / (2x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #