Care este suprafața solidului creat prin rotirea f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x în [1,3] în jurul axei x?

Răspuns:

Determinați semnul, apoi integrați-l prin părți. Zona este:

# A = 39.6345 #

Explicaţie:

Trebuie să știți dacă #f (x) # este negativă sau pozitivă în #1,3#. Prin urmare:

# Xe ^ -x-xe ^ x #

#X (e ^ -x-e ^ x) #

Pentru a determina un semn, al doilea factor va fi pozitiv când:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

De cand # E ^ x> 0 # pentru orice #x în (-oo, + oo) # inegalitatea nu se schimbă:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# E ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#X <0 #

Funcția este pozitivă numai atunci când x este negativă și invers. Deoarece există și un #X# factor în #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Când un factor este pozitiv, celălalt este negativ, deci f (x) este mereu negativ. Prin urmare, zona:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ XDX #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ XDX #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ XDX #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Utilizarea calculatorului:

# A = 39.6345 #

Răspuns:

Suprafață = 11.336,8 unități pătrate

Explicaţie:

dat #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

pentru simplitate lăsați #f (x) = y #

și # y = xe ^ -x -xe ^ x #

primul derivat # Y '# este necesară în calcularea suprafeței.

Zonă # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Unde # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Zonă # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Determinați primul derivat # Y '#:

se diferenția # y = x (e ^ -x - e ^ x) # utilizând derivatul formulării de produs

# * '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x *

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

după simplificare și factoring, rezultatul este

primul derivat # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Calculați acum zona:

Zona = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Zonă # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Zonă

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1 + (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ # # Dx

Pentru integrale complicate, cum ar fi aceasta, putem folosi regula lui Simpson:

astfel încât

Zonă

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1 + (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ # # Dx

Zona = -11.336.804

aceasta implică direcția de rotație, astfel încât poate exista suprafață negativă sau suprafață pozitivă. Să luăm în considerare valoarea pozitivă Area = 11336.804 unități pătrate