Care este semnificația limitei unei funcții?

Răspuns:

Declaratia #lim_ (x a) f (x) = L # înseamnă: as #X# se apropie #A#, #f (x) # se apropie # L #.

Explicaţie:

Definiția exactă este:

Pentru orice număr real #ε>0#, există un alt număr real #δ>0# astfel încât, dacă # 0 <| x-a |<>, atunci # | F (x) -L |<>.

Luați în considerare funcția #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Dacă plotăm graficul, acesta arată astfel:

Nu putem spune care este valoarea # X = 1 #, dar arata ca si cum ar fi #f (x) # abordari #2# la fel de #X# abordari #1#.

Să încercăm să arătăm asta (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Întrebarea este, de unde ajungem # 0 <| x-1 |<> la # | (X ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Trebuie să începem cu o anumită valoare #ε# și apoi găsi o găsiți o valoare corespunzătoare pentru #δ#.

Sa incepem cu

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((X + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Cealaltă condiție este

# | X-1 | <δ #

Definiția se potrivește exact dacă #δ = ε#.

Tocmai am arătat asta pentru orice #ε#, este un #δ# astfel încât # | F (x) -2 |<> cand # 0 <| x-1 |<>.

Așa că am arătat asta

(x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #