Care este integritatea int int ^ 4x dx?

Răspuns:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Explicaţie:

Rezolvarea antiderivativelor trig implică, de obicei, ruperea integrala în jos pentru a aplica Identitățile Pitagoreene și folosirea acestora # U #-substituţie. Exact asta vom face aici.

Începeți prin rescrierea # Inttan ^ 4xdx # la fel de # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Acum putem aplica Identitatea Pitagora # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, sau # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ ^ 2xtan 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuirea # Tan ^ 2x #:

#color (alb) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Aplicarea regulii sumă:

#color (alb) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Vom evalua aceste integrale unul câte unul.

Primul Integral

Aceasta este rezolvată folosind a # U #-substituţie:

Lăsa # U = tanx #

# (Du) / dx = sec ^ 2x #

# Du = sec ^ 2xdx #

Aplicând substituția, #color (alb) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#color (alb) (XX) = u ^ 3/3 + C #

pentru că # U = tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Al doilea Integral

Din moment ce nu știm cu adevărat ce # Inttan ^ 2xdx # se uita la ea, încercați să aplicați # Tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identitate din nou:

# Inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Utilizând regula sumă, integrala se reduce la:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Primul dintre acestea, # Intsec ^ 2xdx #, este doar # Tanx + C #. Al doilea, așa-numitul "integral integral", este pur și simplu # X + C #. Punandu-le impreuna, putem spune:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Și pentru că # C + C # este doar o altă constantă arbitrară, o putem combina într-o constantă generală # # C:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Combinând cele două rezultate, avem:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^-2xdx inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Din nou, pentru că # C + C # este o constantă, putem să le aderăm la una # # C.

Care este integritatea int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x1) dx = 1/20 (2x1) ^ (5/2) +1/6 (2x1) / 4sqrt (2x-1) + C Problema noastră mare în acest integral este rădăcina, așa că vrem să scăpăm de ea. Putem face acest lucru prin introducerea unei substituții u = sqrt (2x-1). Derivatul este apoi (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Deci ne împărțim prin (și amintim, împărțind prin reciproc este același cu multiplicarea prin numitor) x = 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt ^ 2-1 du Acum, tot ce trebuie sa facem este sa exprime x ^ 2 in termeni de u (deoarece nu poti integra x in ceea ce priveste u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = (U ^ 2 + 1) =

Care este integritatea int int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ ^ (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Putem folosi substituția pentru a elimina cos (x). Deci, să folosim păcatul (x) ca sursă. (d) / (dx) = cos (x) Găsirea dx va da, dx = 1 / cos (x) * du Acum înlocuind integralul original cu substituția, (x + 1) cos (x) * 1 / cos (x) du Putem anula cos (x) 1/4 u ^ 4 + C Acum setarea pentru u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C

Care este integritatea int int ^ 5 (x)?

(x) + (x) + ln | sec (x) | + c int tan ^ (5) (x) dx Cunoscând faptul că tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, îl putem rescrie ca int (sec ^ 2 (x) -1) ^ 2 tan (x) (x) dx + int (x) dx Primul integral: Fie u = sec (x) -> du = (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx De asemenea, int u ^ 3 du - 2int u du + int tan rețineți că int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, oferindu-ne astfel 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Înlocuind u înapoi în expresie ne dă rezultatul nostru final de 1 / 4sec ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / cancel (2)) sec ^ (2) (x) + ln | (x) + C Astfel int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec