Care este integritatea int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Răspuns:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x1) dx = 1/20 (2x1) ^ (5/2) +1/6 (2x1) 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Explicaţie:

Problema noastră mare în acest integral este rădăcina, așa că vrem să scăpăm de ea. Putem face acest lucru prin introducerea unei substituții # U = sqrt (2x-1) #. Derivatul este atunci

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Deci, ne împărțim (și amintim, împărțind printr-o reciprocă este același ca multiplicarea prin numitor), să se integreze cu respect # U #:

(x-2) / sqrt (2x-1)) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt = int x ^ 2-1 du #

Acum, tot ce trebuie să facem este să exprime # X ^ 2 # in termeni de # U # (deoarece nu se poate integra #X# cu privire la # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Putem conecta acest lucru în întregul nostru pentru a obține:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Acest lucru poate fi evaluat folosind regula de putere inversă:

# 1. / 4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Repoziționarea pentru # U = sqrt (2x-1) #, primim:

# 1/20 alineatul (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Care este integritatea int int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ ^ (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Putem folosi substituția pentru a elimina cos (x). Deci, să folosim păcatul (x) ca sursă. (d) / (dx) = cos (x) Găsirea dx va da, dx = 1 / cos (x) * du Acum înlocuind integralul original cu substituția, (x + 1) cos (x) * 1 / cos (x) du Putem anula cos (x) 1/4 u ^ 4 + C Acum setarea pentru u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C

Care este integritatea int int ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Rezolvarea antiderivativelor trig implică, de obicei, ruperea integrala în jos pentru a aplica Identitățile Pitagoreene și folosirea unei substituții u. Exact asta vom face aici. Începeți prin rescrierea inttan ^ 4xdx ca inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Acum putem aplica Identitatea Pythagorean tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x sau tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int : culoare (albă) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Aplicarea regulii sumă: culoare (albă) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Vom evalua aceste integrale unul câte unul. Primul Integral Acest lucru este rezolvat

Care este integritatea int int ^ 5 (x)?

(x) + (x) + ln | sec (x) | + c int tan ^ (5) (x) dx Cunoscând faptul că tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, îl putem rescrie ca int (sec ^ 2 (x) -1) ^ 2 tan (x) (x) dx + int (x) dx Primul integral: Fie u = sec (x) -> du = (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx De asemenea, int u ^ 3 du - 2int u du + int tan rețineți că int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, oferindu-ne astfel 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Înlocuind u înapoi în expresie ne dă rezultatul nostru final de 1 / 4sec ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / cancel (2)) sec ^ (2) (x) + ln | (x) + C Astfel int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec