Fie N cel mai mic întreg cu 378 divizori. Dacă N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, care este valoarea lui {a, b, c, d} în NN?

Răspuns:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Explicaţie:

Dintr-un număr # N # cu factorizare primară #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alfa_2) … p_k ^ (alpha_k) #, fiecare divizor al # N # este de formă # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # Unde #beta_i în {0, 1, …, alpha_i} #. Așa cum există # Alpha_i + 1 # alegeri pentru fiecare # # Beta_i, numărul de divizori ai # N # este dat de

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

La fel de # N = 2 ^ axx3 ^ ^ bxx5 cxx7 ^ d #, numărul de divizori ai # N # este dat de (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Astfel, obiectivul nostru este de a găsi # (a, b, c, d) # astfel încât produsul de mai sus să dețină și # 2 ^ axx3 ^ ^ bxx5 cxx7 ^ d # este minim. Pe măsură ce minimizăm, vom presupune din acest punct #A> = b> = c> = d # (dacă nu s-ar întâmpla acest lucru, am putea schimba exponenții pentru a obține un rezultat mai mic cu același număr de divizori).

Observând asta # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, putem lua în considerare posibilele cazuri în care #378# este scris ca un produs de patru numere întregi # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Putem inspecta acestea pentru a vedea care produce cel mai mic rezultat # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1)

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1)

#color (roșu) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => 1.9xx10 ^

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13,2,2,2) => 9,0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17,6,2,0)

Ne putem opri aici, deoarece orice alte cazuri vor avea unele #k_i> = 27 #, dând # 2 ^ a = = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, care este deja mai mare decât cel mai bun caz.

Prin lucrarea de mai sus, atunci, # (a, b, c, d) # care produce un minim # N # cu #378# divizori este # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, dând #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #