Obțineți un polinom patrat cu următoarele condiții? 1. suma zerourilor = 1/3, produsul de la zero = 1/2

Răspuns:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Explicaţie:

Formula quadratică este #X = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Suma a două rădăcini:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# -B / a = 1/3 # pentru

# B = -a / 3 #

Produs de două rădăcini:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# C / a = 1 / -2 #

# C = a / 2 #

Noi avem # Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

dovada:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# X = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 =: 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1 / -2 #

Răspuns:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Explicaţie:

Dacă avem o ecuație generală patratică:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 dacă x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

Și noi denotăm rădăcina ecuației prin #alfa# și # # Beta, atunci avem:

(x-beta) = 0 dacă x 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0 #

Care ne dă proprietățile bine studiate:

#:: ("suma rădăcinilor", = alpha + beta, = -b / a), ("produsul rădăcinilor", = alfa beta, = c / a)

Astfel avem:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alfa beta, = c / a, = 1/2)

Deci, ecuația căutată este:

# x ^ 2 - "(suma rădăcinilor)" x + "(produs de rădăcini)" = 0 #

.: adică

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

Și (opțional), pentru a elimina coeficienții fracționali, înmulțim cu #6# oferind:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #