Z1 + z2 = z1 + z2 dacă și numai dacă arg (z1) = arg (z2), unde z1 și z2 sunt numere complexe. Cum? te rog explica!

Răspuns:

Vă rugăm să vă referiți la Discuţie în Explicaţie.

Explicaţie:

Lăsa, # | Z_j | = r_j; r_j gt 0 și arg (z_j) = theta_j în (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Clar, # (Z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (R_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

Reamintim că, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (stele ^ 1) #.

# "Acum Având în vedere că," z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

# z | 2 (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |.

(2) (2) (2) (2) (2)

Din # (stea ^ 1) și (stea ^ 2) # primim, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2 #

# "Anularea" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0 #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k în ZZ #

# "Dar," theta_1, theta_2 în (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0, sau, #

# theta_1 = theta_2, "dând," arg (z_1) = arg (z_2), # la fel de dorit!

Astfel, am arătat că, # | Z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

conversa poate fi dovedit pe linii similare.

Bucurați-vă de matematică!