Răspuns:
Există de fapt patru valori pentru # X / 2 # pe cercul unității, deci patru valori pentru fiecare funcție trig. Valoarea principală a jumătății de unghi este în jur # 2.2 ^ Circ. #
#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170}
#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2,2 ^ circa = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170}
# (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Vedeți explicația celorlalți.
Explicaţie:
Să vorbim mai întâi despre răspuns. Există două unghiuri pe cercul unității al cărui cotangent este #13#. Unul este în jur # 4.4 ^ # Circ, iar alta este asta plus # 180 ^ # Circ, spune-i # 184,4 ^ # Circ. Fiecare dintre ele are două jumătăți de unghi, separate din nou # 180 ^ Circ. # Primul are jumătate de unghiuri # 2.2 ^ # Circ și # 182,2 ^ # Circ, al doilea are o jumătate de unghiuri # 92.2 ^ # Circ și # 272,2 ^ # Circ, Deci, există în realitate patru jumătăți de unghi în cauză, cu valori diferite, dar legate de funcțiile lor trig.
Vom folosi unghiurile de mai sus ca aproximări, așa că avem nume pentru ele.
Unghiuri cu cotangenta de 13:
#text {Arc} text {cot} 13 aproximativ 4.4 ^ circ #
# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 aproximativ 184,4 ^ circ #
Jumătate de unghiuri:
# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 aproximativ 2.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aproximativ 182,2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aproximativ 92,2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13)
OK, formulele cu unghi dublu pentru cosinus sunt:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
astfel încât formulele de jumătate de unghi relevante sunt
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))}
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
Asta e totul preliminar. Să facem problema.
Vom face mai întâi unghiul mic, # 2.2 ^ Circ. # Vedem că restul sunt doar multiplii # 90 ^ # Circ deasupra, astfel încât să putem obține funcțiile lor trig din acest prim unghi.
Un cotangent de 13 este o pantă de #1/13# deci corespunde unui triunghi drept cu opusul #1#, adiacente #13# și hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170}
Acum aplicăm formulele cu jumătate de unghi. Pentru unghiul nostru teeny în primul cvadrant, vom alege semnele pozitive.
#cosc {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
Am putea încerca să simplificăm și să mutăm fracțiunile din afara radicalului, dar o să-l las aici.
#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2,2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ) / sqrt {170})} #
Unghiul tangent reprezintă jumătatea unghiului, dar este mai ușor de utilizat
# tan (theta / 2) = {sinul theta} / {1 + cos theta} #
# {1} {sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 # = {
Bine, asta e partea dificilă, dar să nu uităm celelalte unghiuri.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})}
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})}
# tan 182,2 ^ circ = tan 2,2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Acum avem unghiurile rămase, care fac schimb de sine și cosinus, semnele care coboară. Nu vom repeta formularele decât cu tangenta.
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2,2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2,2 ^ circ} = -13-sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2,2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272,2 ^ circ = tan 92,2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
Pfiu.
Răspuns:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384 cos (x / 2)
#color (purpuriu) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x /
Explicaţie:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1-tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1 2 tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
# tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1-tan ^ 2 (x / 2)
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
# (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
# tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #
# csc ^ 2x = 1 + pătuț ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #
Dar știu #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Cand # t (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679,1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 =
Cand #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26,0384) ^ 2) = 1,0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#coscos (x / 2) = păcat (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #