Te rog ajută-mă în asta, cum să o fac?

Răspuns:

#k = 3 #

Explicaţie:

Folosind proprietățile exponenților # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # și # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, noi avem

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1 ^ k =

Prin urmare #13!# este divizibil prin # 24 ^ k # dacă și numai dacă #13!# este divizibil prin # 2 ^ (3k) # și este divizibil prin # 3 ^ k #.

Putem spune cea mai mare putere a lui #2# prin care #13!# este divizibil dacă privim factorii care sunt divizibili #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Deoarece niciunul dintre factorii ciudați nu contribuie cu nici un factor #2#, noi avem

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2)

Unde # M # este un număr întreg care nu este divizibil #2#. Ca atare, știm asta #13!# este divizibil prin # 2 ^ (3k) # dacă și numai dacă #2^10# este divizibil prin # 2 ^ (3k) #, sens # 3k <= 10 #. La fel de # # K este un număr întreg, înseamnă asta #k <= 3 #.

Apoi, ne putem uita la care factori de #13!# sunt divizibile prin #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Deoarece nu există alți factori #13!# contribuie la orice factori #3#, asta înseamnă

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n =

Unde # N # este un număr întreg care nu este divizibil #3#. Ca atare, știm asta #3^5# este divizibil prin # 3 ^ k #, sens #k <= 5 #.

Cel mai mare număr întreg care nu satisface constrângerile #k <= 3 # și #k <= 5 # este #3#, oferindu-ne răspunsul nostru din # K = 3 #.

Un calculator va verifica acest lucru #(13!)/24^3 = 450450#, în timp ce #(13!)/24^4=18768.75#