Care este logaritmul unui număr negativ?

Logaritmii numerelor negative nu sunt definiți în numerele reale, în același mod în care rădăcinile pătrate ale numerelor negative nu sunt definite în numerele reale. Dacă vă așteptați să găsiți un jurnal al unui număr negativ, răspunsul "nedefinit" este suficient în majoritatea cazurilor.

Aceasta este este posibil să se evalueze una, cu toate acestea, răspunsul va fi un număr complex. (un număr al formularului #a + bi #, Unde #i = sqrt (-1) #)

Dacă sunteți familiarizați cu numere complexe și vă simțiți bine să lucrați cu ei, citiți mai departe.

În primul rând, să începem cu un caz general:

#log_b (-x) =? #

Vom folosi regula de schimbare de bază și vom converti la logaritme naturale, pentru a face lucrurile mai ușoare mai târziu:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Rețineți că #ln (-x) # este același lucru ca și #ln (-1 * x) #. Putem exploata proprietatea de adăugare a logaritmilor și separăm această parte în două jurnale separate:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Singura problemă este să găsim ce #ln (-1) # este. Ar putea părea un lucru imposibil de evaluat la început, dar există o ecuație destul de faimoasă, cunoscută sub numele de Identitatea lui Euler, care ne poate ajuta.

Afirmațiile lui Euler despre identitate:

# e ^ (ipi) = -1 #

Acest rezultat provine din extinderea seriilor de putere a sine și a cosinusului. (Nu voi explica prea în profunzime, dar dacă sunteți interesat, există o pagină frumoasă aici care explică ceva mai mult)

Pentru moment, să luăm pur și simplu jurnalul natural al ambelor laturi ale Identității lui Euler:

#in e ^ (ipi) = ln (-1) #

simplificată:

#ipi = ln (-1) #

Deci, acum că știm ce #ln (-1) # este, putem înlocui înapoi în ecuația noastră:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Acum aveți o formulă pentru a găsi buletine de numere negative. Deci, dacă vrem să evaluăm ceva de genul # log_2 10 #, putem conecta pur și simplu câteva valori:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #