Întrebarea nr. 059f6

Răspuns:

(x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k)) (x-1) ^ (2k + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos 1) ^ (2k + 1) #

Explicaţie:

Dezvoltarea de către Taylor a unei funcții # F # la #A# este (a) / (n)) (a) / (n) (xa) ^ n = f (a) + f ' 2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Rețineți că este vorba de o serie de putere, astfel încât nu se converge neapărat la ea # F # sau chiar converg în altă parte decât la # x = un #.

Mai întâi avem nevoie de derivatele lui # F # dacă vrem să încercăm să scriem o formulă reală a seriei sale Taylor.

După calcul și o probă de inducție, putem spune asta #Ak în NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) și (2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos.

Deci, după o simplificare dificilă și mică, se pare că seria Taylor # F # este (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k)) (x-1) ^ (2k) + suma_ (2k + 1)) (x-1) ^ (2k + 1) sin (x-1) + xcos +1) #.