Suma pătratului a două numere consecutive este de 390. Cum formulezi ecuația patratică pentru a găsi cele două numere?

Răspuns:

Ar fi patrat # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Aceasta nu are soluții întregi.

Nici suma celor două pătrate nu este egală cu #390#.

Suma pătratelor a două numere gaussiene poate fi 390.

Explicaţie:

Dacă este mai mică dintre cele două numere # N #, atunci este mai mare # N + 1 # și suma pătratelor lor este:

# n + 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 +

Deci, ecuația patratică pe care am vrea să o rezolvăm este:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

sau dacă preferați:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Observați totuși că pentru orice număr întreg # N # suma # 2n ^ 2 + 2n + 1 # va fi ciudat, deci nu este posibil #390# a fi suma pătratelor a două numere consecutivie.

Poate fi exprimată ca suma pătratelor a două numere întregi?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# nu pătrat

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# nu pătrat

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# nu pătrat

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# nu pătrat

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# nu pătrat

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# nu pătrat

Nu, dacă vom merge mai departe, restul mare după scăderea pieței nu va fi unul dintre cele pe care le-am verificat deja.

#culoare albă)()#

Notă de subsol complexă

Există o pereche de numere întregi Gaussian, suma cărora este pătratul #390#?

Da.

Să presupunem că putem găsi un întreg Gaussian # M + ni #, partea reală a cărei pătrat este #195#. Apoi, suma pătratului acelui intreg gaussian și pătratul conjugatului său complex ar fi o soluție.

Găsim:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Așadar, vrem să găsim numere întregi #m, n # astfel încât # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Bine:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

De aici găsim:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 =

O altă soluție, provenind din faptul că fiecare număr impar este diferența dintre pătratele a două numere consecutive este:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #