Întrebarea # 3cbbc

Răspuns:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #

Explicaţie:

Soluția mea este prin regula lui Simpson, Formula de aproximare

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# H / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #

Unde # H = (b-a) / n # și # B # limita superioară și #A# limita inferioară

și # N # orice număr par (mai mare cu atât mai bine)

am ales

# # N = 20

dat # B = pi / 4 # și # A = 0 #

# H = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #

Acesta este modul de calcul. Fiecare # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # va folosi o valoare diferită

pentru # # Y_0

# X_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)

#color (roșu) (y_0 = 0.3333333333333) #

pentru # 4 * # y_1

# X_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) /

#color (roșu) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #

pentru # 2 * # y_2

# X_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) /

#color (roșu) (2 * y_2 =.68138682514816) #

pentru # 4 * # y_3

# X_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

(3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)

#color (roșu) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #

pentru # 2 * # y_4

# X_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) /

#color (roșu) (2 * y_4 =.69151824096418) #

restul sunt după cum urmează

#color (roșu) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #

#color (roșu) (2 * y_6 =.69821575035862) #

#color (roșu) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #

#color (roșu) (2 * y_8 =.70242415421322) #

#color (roșu) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #

#color (roșu) (2 * y_10 =.70489632049832) #

#color (roșu) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #

#color (roșu) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #

#color (roșu) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #

#color (roșu) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #

#color (roșu) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #

#color (roșu) (2 * y_16 =.70705252678954) #

#color (roșu) (4 * y_17 = 1.414179352209) #

#color (roșu) (2 * y_18 =.70710341105534) #

#color (roșu) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #

#color (roșu) (y_20 =.35355339059328) #

Suma tuturor acestor #color (roșu) ("sum" = 20.98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3)

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = culoare (roșu) (0.2746530521) #

O alternativă este să utilizați pur și simplu un calculator grafic în timpul unei integrări complicate care apare cu o valoare mai precisă

#color (roșu) (= 0.2746530722) #

Dumnezeu să binecuvânteze … sper că explicația este utilă.

Răspuns:

# Int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #

Explicaţie:

Vom continua prin utilizarea substituției. În primul rând, vom trece printr-o algebră pentru a obține integrarea într-o formă mai dorită.

# 3 + păcat (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x)

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

= (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)

= sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = sin (x) + cos (x) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 x x #

# Xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 x x #

#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #

# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #

Folosind acest lucru, putem împărți integralele:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)

# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #

(X) + cos (x)) dx # (1) (4)

Pentru primul integral, folosind substituția #u = 2 + sin (x) - cos (x) # ne ofera #du = (sin (x) + cos (x)) dx # iar limitele integrării se schimbă de la #0# și # Pi / 4 # la #1# și #2#. Astfel, ajungem

(X) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 alineatul (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 alineatul (ln (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4ln (2) #

Pentru al doilea integral, folosind substituția #u = 2 - sin (x) + cos (x) # ne ofera #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # iar limitele integrării se schimbă de la #0# și # Pi / 4 # la #3# și #2#. Astfel, ajungem

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx =

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 alineatul (ln (3) -ln (2)) #

# = 1/4 alineatul (ln (3/2)) #

Înlocuirea valorilor pentru integrale ne dă rezultatul dorit:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx =

# = 1/4 alineatul (ln (2) + ln (3/2)) #

# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #

# = Ln (3) / 4 #