Care este rădăcina pătrată de 89?

Răspuns:

Rădăcina pătrată din #89# este un număr care, atunci când dă pătrat #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Explicaţie:

De cand #89# este prim, #sqrt (89) # nu poate fi simplificată.

Puteți să o aproximați utilizând o metodă Newton Raphson.

Îmi place să o reformulăm puțin, după cum urmează:

Lăsa #n = 89 # fi numărul pe care doriți rădăcina pătrată din.

Alege # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # astfel încât # P_0 / q_0 # este o aproximare rațională rezonabilă. Am ales aceste valori particulare de atunci #89# este la jumătatea distanței dintre #9^2 = 81# și #10^2 = 100#.

Iterați folosind formulele:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Aceasta va oferi o mai bună aproximare rațională.

Asa de:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Dacă am fi oprit aici, vom obține o aproximare:

#sqrt (89) ~ ~ 717/76 ~~ 9.434 #

Să mergem încă un pas:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Deci, avem o aproximare:

#sqrt (89) ~ ~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Această metodă Newton Raphson converge rapid.

#culoare albă)()#

De fapt, o aproximare simplă destul de bună pentru #sqrt (89) # este #500/53#, de cand #500^2 = 250000# și #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~ ~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Dacă aplicăm o etapă de iterație la aceasta, obținem o aproximare mai bună:

#sqrt (89) ~ ~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#culoare albă)()#

Notă de subsol

Toate rădăcinile pătrate de numere întregi pozitive au repetate expansiuni de fracții continue, pe care le puteți utiliza și pentru a da aproximații raționale.

Cu toate acestea, în cazul #sqrt (89) # expansiunea fracționată continuă este puțin murdară, deci nu este așa de frumos să lucrați cu:

#sqrt (89) = 9; bar 2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / + …))))))) #

Apropierea #500/53# de mai sus este #9; 2, 3, 3, 2#