Gama e ^ x / ([x] +1), x> 0 și unde [x] reprezintă cel mai mare număr întreg?

Răspuns:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Explicaţie:

presupun #X# este cel mai mic întreg mai mare decât #X#. În următorul răspuns, vom folosi notația #ceil (x) #, numit funcția tavanului.

Lăsa #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. De cand #X# este strict mai mare decât #0#, acest lucru înseamnă că domeniul # F # este # (0, + oo) #.

La fel de #X> 0 #, #ceil (x)> 1 # și de atunci # E ^ x # este întotdeauna pozitivă, # F # este întotdeauna strict mai mare decât #0# în domeniul său. Este important să rețineți acest lucru # F # este nu și nu este, de asemenea, continuă la numerele naturale. Pentru a dovedi asta, lasa-te # N # fi un număr natural:

(X -> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x /

pentru că #X> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^

În mod similar, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Întrucât limitele stângi și drepte nu sunt egale, # F # nu este continuă la numere întregi. De asemenea, #L> R # pentru toți #n în NN #.

La fel de # F # se mărește în intervale limitate de numerele întregi pozitive, "cele mai mici valori" pe interval vor fi la fel #X# se apropie de limita inferioară din dreapta.

Prin urmare, valoarea minimă a # F # Va fi

(X + 0) + (x +) = e (0) (0 + 2) = 1 / 2 #

Aceasta este limita inferioară a domeniului # F #.

Deși nu este cu adevărat corect să spunem asta # F # este în creștere, este în sensul, asimptotic, se apropie de infinit - așa cum s-a dovedit mai jos:

= x (x) = (x) x (x)

La fel de #ceilx> = x #, există a #delta <1 # astfel încât # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Lăsa #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

= (lim) (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u /

# E ^ u # crește în mod exponențial în timp ce # U # face acest lucru liniar, ceea ce înseamnă că

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Prin urmare, intervalul de # F # este

# "Intervalul" = (1/2, oo) #

Intervalul este deschis în stânga pentru că #http: // 2 # inca este #f (0) #, si ca #X# abordari #0^+#, #f (x) # doar abordări #http: // 2 #; niciodată nu este egal.