Ce este lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) pe măsură ce x se apropie de 1 din partea dreaptă?

# 1 / e #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2,064, 4,095, -1,338, 1,74}

Ei bine, ar fi mult mai ușor dacă am lua pur și simplu # # Ln de ambele părți. De cand # X ^ (1 / (1-x)) # este continuă în intervalul deschis la dreapta #1#, putem spune că:

#n lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x)

# = lim_ (x -> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

De cand #n (1) = 0 # și #(1 - 1) = 0#, aceasta este de formă #0/0# și regula lui L'Hopital se aplică:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1)

Și, desigur, # 1 / x # este continuu din fiecare parte a lui # x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)

Ca urmare, limita inițială este:

(1) (x) (1) (1) (1) (1) 1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = culoare (albastru) (1 / e) #