Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate / false? Justificați-vă răspunsul. (ii) Fiecare sistem de ecuații liniare omogene are o soluție non-zero.

Răspuns:

# #

# "(i) Adevărat." #

# "(ii) Fals." #

Explicaţie:

# #

# "Dovezi." #

# "(i) Putem construi un astfel de set de subspații:" #

# "1)" forall r în RR ", permiteți:" qquad quad V_r = (x, r x) în RR ^ 2. #

# "Geometric," V_r "este linia prin originea" RR ^ 2, "a pantei" r. #

# "2) Vom verifica dacă aceste subspații justifică afirmația (i)." #

# "3) În mod clar:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Verificați că:" qquad qquad V_r "este un subspațiu adecvat al" RR ^ 2. #

# "Să:" qquad u, v în V_r, alfa, beta în RR. qquad qquad qquad quad "Verificați că:" quad alpha u + beta v în V_r. #

# u, v în V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x2, rx_2); "pentru unele" x_1, x_2 în RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1)

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2)

qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) în V_r; qquad "cu" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Deci:" qquad qquad qquadu, v în V_r, alfa, beta în RR quad rArr quad alfa u + beta v în Vr. #

# "Astfel:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "este un subspațiu de" RR ^ 2. #

# "Pentru a vedea că" V_r "este diferită de zero, rețineți că:" #

qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) în V_r, "și (1, r) ne (0,

# "Pentru a vedea că" V_r "este corectă," "notați că" (1, r + 1)! În V_r: #

# (1, r + 1) în V_r rArr "(prin construirea lui" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "evident imposibil." #

# "Astfel:" qquad qquad qquad V_r "este un subspațiu adecvat non-zero al lui RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Acum arată că există foarte multe astfel de subspații" V_r. #

# "Să:" qquad qquad r, s în RR. qquad qquad qquad quad "Vom afișa:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Prin definiție:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) în V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) în V_s. #

# "În mod clar:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Astfel:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne rArr V_r ne V_s. #

# "Deci fiecare" r în RR "produce un subspațiu distinct" V_r. #

# "Acest lucru, împreună cu (1), oferă:" #

# "Familia de subspații:" r în RR, "este o familie infinită" #

# "de sub-spații adecvate ale" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad pătratul #

# "(ii) Acest lucru este de fapt ușor.Dacă sistemul este pătrat, și" #

# "matricea coeficientului sistemului în invertible, va exista doar" #

# "soluția zero." #

# "Să presupunem că:" qquad qquad quad A "este o matrice pătrată, inversibilă." #

# "Luați în considerare sistemul omogen:" #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Astfel, deoarece" A "este inversibil:" #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Astfel, sistemul omogen" A x = 0, "nu are un" #

# "soluție non-zero." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad

Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate? (1) Pentru n> 2, AM a primului număr natural n este mai mare de n + 1?

False Suma primelor numere naturale n este {n (n + 1)} / 2 - astfel încât media este (n + 1) / 2, care este întotdeauna mai mică decât n + 1 (De fapt, media aritmetică a orice număr de termeni dintr-un AP este întotdeauna media primului și ultimului termen din AP - care sunt 1 și n în acest caz)

Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate? (1). (i) în R pentru toate i = 1, ..., (a) are o rădăcină în R numai dacă m este un număr impar?

"Declarația este falsă [foarte falsă]." # "Întrebare bună de întrebat - dar este (foarte) falsă. Observați:" qquad qquad qquad p (x) = x ^ 2 qquad " declarația originală este falsă. " #

Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate / false? Dați motive pentru răspunsurile dvs. 1. Dacă σ este o permutare uniformă, atunci σ ^ 2 = 1.

False O permutare uniformă poate fi descompusă într-un număr par de transpoziții. De exemplu, ((2, 3)) urmat de ((1, 2)) este echivalent cu (1, 2, 3) sigma ^ 2 = ((1, 3, 2)) 1 = 1