Care este media și varianța unei variabile aleatoare cu următoarea funcție de densitate a probabilității ?: f (x) = 3x ^ 2 dacă -1 <x <1; 0 altfel

Răspuns:

Însemna #E (X) = 0 # și varianța # "Var" (X) = 6/5 #.

Explicaţie:

Rețineți că

#E (X) = int_-1 ^ 1 x * (3x ^ 2) "" dx #

# = int_-1 ^ 1 3x ^ 3 "" dx #

# = 3 * x ^ 4/4 _ ("(1, 1") ") #

#=0#

De asemenea, rețineți că

# "Var" (x) = E (X ^ 2) - (E (X)

# = 3 * x ^ 5/5 _ ("(1, 1") "

# = 3/5 * (1 + 1) #

#= 6/5#

Să presupunem că X este o variabilă aleatorie continuă a cărei funcție de densitate a probabilității este dată de: f (x) = k (2x - x ^ 2) pentru 0 <x <2; 0 pentru toate celelalte x. Care este valoarea lui k, P (X> 1), E (X) și Var (X)?

K = 3/4 P (x> 1) = 1/2 E (X) = 1 V (X) = 1/5 Pentru a găsi k folosim int_0 ^ 2f (x) ^ 2) dx = 1:. k = 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1 k (4-8 / 3) = 1 => 4 / 3k = ), vom folosi P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) = 1-int_0 ^ 1 (3/4) Pentru a calcula E (X) E (X) = int_0 ^ 2f (x) ) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2x3) dx = 3/4 [2x3-3x4 / 4] Pentru a calcula V (X) V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3x4) dx = 3/4 [2x ^ 4/4x5/5/5 ] _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5: .V (X) = 6 / 5-1 = 1/5

Care este varianța unei funcții de distribuție a probabilității a formei: f (x) = ke ^ (- 2x)?

Distribuția este o distribuție exponențială. k = 2 și E (x) = 1/2, E (x 2) = 1/2 => V (x) = E (x ^ 2) (1/2) ^ 2 = 1/2 - 1/4 = 1/4. Limita distribuției este (0, oo) Pentru a găsi k, int_0 ^ B ke ^ - (2x) dx = k Gamma (1) / 2 = 1 = x) = # int_0 ^ Bx

Care este varianța lui X dacă are următoarea funcție de densitate de probabilitate ?: f (x) = {3x2 dacă -1 <x <1; 0 altfel}

Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx care poate fi scris ca: sigma ^ dx - mu ^ 2 sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 [x ^ 5] _- 1 ^ 1 = 6/5 Presupunem că întrebarea a vrut să spună f (x) 2 "pentru" -1 <x <1; 0 "altfel" Găsiți variația? (X) dx-2 (x) dx (x) dx (2) ) dx) ^ 1 sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ În cazul în care, sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx și mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx Deci să calculăm sigma_0 ^ 2 "și" mu prin simetrie mu = 0 a se vedea: mu = 3int_-1 ^ 1 ^ ^ 3dx = [3/4x ^ 4] _- 1 ^ 1 = 3/4 [1-1] sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx