Care este ecuația parabolului cu focalizare la (-15, -19) și directrix de y = -8?

Răspuns:

#y = -1/22 (x + 15) ^ 2- 27/2 #

Explicaţie:

Deoarece direcția directoare este o linie orizontală, știm că parabola este orientată vertical (se deschide în sus sau în jos). Deoarece coordonata y a focalizării (-19) sub direcția directrix (-8), știm că parabola se deschide. Forma vârfului ecuației pentru acest tip de parabola este:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

În cazul în care h este coordonata x a vârfului, k este coordonatul y al vârfului, iar distanța focală f este jumătatea distanței semnalate de direcția directoare către focalizare:

#f = (y _ ("focalizare") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Coordonata y a vârfului, k, este f plus coordonata y a directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Coordonata x a vârfului, h, este aceeași cu cea a coordonatei x a focusului:

#h = -15 #

Înlocuirea acestor valori în ecuația 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Simplificarea un pic:

#y = -1/22 (x + 15) ^ 2- 27/2 #

Răspuns:

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Explicaţie:

Parabola este locusul unui punct, care se mișcă astfel încât distanța sa de la o linie, numită directix, și un punct numit focalizare, sunt egale.

Știm că distanța dintre două puncte # (X_1, y_1) # și # X_2, y_2) # este dat de #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # și

distanța dintre punct # (X_1, y_1) # și linia # Ax + de + c = 0 # este # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Acum distanță de un punct #(X y)# pe parabola de la focalizare la #(-15,-19)# este #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

și distanța sa de la direcția directoare # Y = -8 # sau # Y + 8 = 0 # este # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Deci, ar fi o ecuație de parabolă

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # sau

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # sau

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # sau

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

grafic {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}