Poate o funcție să fie continuă și nediferențiată pe un anumit domeniu?

Răspuns:

Da.

Explicaţie:

Unul dintre exemplele cele mai uimitoare ale acestui lucru este funcția Weierstrass, descoperită de Karl Weierstrass pe care a definit-o în lucrarea sa originală:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

Unde # 0 <a <1 #, # B # este un număr întreg ciudat și #ab> (3pi + 2) / 2 #

Aceasta este o funcție foarte spinoasă care este continuă peste tot pe linia Reală, dar nu poate fi diferențiată nicăieri.

Răspuns:

Da, dacă are un punct "îndoit". Un exemplu este #f (x) = | x | # la # X_0 = 0 #

Explicaţie:

Funcția continuă înseamnă practic desenarea acesteia fără a scoate creionul de pe hârtie. Matematic, înseamnă că pentru oricine # # X_0 valorile lui #f (x_0) # deoarece acestea sunt abordate cu infinit de mici # # Dx din stânga și din dreapta trebuie să fie egale:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

unde semnul minus înseamnă apropierea de semnul stâng și semnul plus se apropie de dreapta.

Funcția diferențiată înseamnă practic o funcție care își schimbă în mod constant panta (NU la o rată constantă). Prin urmare, o funcție care este nediferențiată la un anumit punct practic înseamnă că schimba brusc panta din stânga acelui punct spre dreapta.

Să vedem două funcții.

#f (x) = x ^ 2 # la # X_0 = 2 #

Grafic

grafic {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Grafic (mărire)

grafic {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Deoarece la # X_0 = 2 # graful poate fi format fără a scoate creionul de pe hârtie, funcția fiind continuă la acel punct. Deoarece nu este îndoită la acel moment, este de asemenea diferențiată.

#G (x) = | x | # la # X_0 = 0 #

Grafic

grafic {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

La # X_0 = 0 # funcția este continuă, deoarece poate fi trasă fără a scoate creionul de pe hârtie. Cu toate acestea, deoarece se îndoaie la acel punct, funcția nu este diferențiată.