Cum descoperi Limita lui (ln x) ^ (1 / x) pe măsură ce x se apropie de infinit?

Răspuns:

# l (x)) (1 / x) = 1 #

Explicaţie:

Începem cu un truc comun atunci când ne ocupăm de exponenți variabili. Putem lua jurnalul natural al cevaului și apoi să-l ridicăm ca exponent al funcției exponențiale fără a-și schimba valoarea deoarece acestea sunt operații inverse - dar ne permite să folosim regulile logurilor într-un mod benefic.

(ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)

Utilizând regula exponențială a buștenilor:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Observați că exponentul variază ca # # Xrarroo astfel încât să ne putem concentra pe ea și să mutăm funcția exponențială în afara:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Dacă vă uitați la comportamentul funcției log naturale, veți observa că, pe măsură ce x tinde spre infinit, valoarea funcției tinde, de asemenea, la infinit, deși foarte lent. Când luăm #ln (ln (x)) # avem o variabilă în interiorul funcției jurnal care tinde spre infinit foarte încet, ceea ce înseamnă că avem o funcție globală care tinde spre infinit EXTREMELY lent. Graficul de mai jos variază până la # X = 1000 # dar demonstrează creșterea extrem de lentă a #ln (ln (x)) # chiar și în comparație cu creșterea lentă a #ln (x) #.

Din acest comportament, putem deduce acest lucru #X# va prezenta o creștere rapidă asimptotică mult mai rapidă și că limita exponentului va fi, prin urmare, zero. #color (albastru) ("Aceasta înseamnă că limita globală = 1.") #

De asemenea, putem aborda acest aspect cu regula lui L'Hispital. Avem nevoie ca limita să fie în formă nedeterminată, adică # 0/0 sau oo / oo # așa că verificăm că acesta este cazul:

#in_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Acesta este într-adevăr cazul, astfel încât limita devine:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

A diferentia #y = ln (ln (x)) # recunoaștem că avem #Y (u (x)) # și folosiți regula lanțului

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) implică (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) implică (dy) / (du) = 1 / u = 1 /

# d (x) (x) (x) (x) (x)

Derivat al #X# este #1#. Limita devine:

#) = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x)))

Ne-am adresat că ambele funcții asupra numitorului tind spre infinit, așa că avem

# exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #