Cum descoperi Limita de [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] pe măsură ce x se apropie de 0?

Răspuns:

Efectuați o multiplicare conjugată și simplificați pentru a obține #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Explicaţie:

Înlocuirea directă produce o formă nedeterminată #0/0#, așa că va trebui să încercăm altceva.

Încercați să multiplicați # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # de # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Această tehnică este cunoscută sub numele de conjugat multiplicare, și funcționează aproape de fiecare dată. Ideea este de a folosi diferența de proprietăți pătrate # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # pentru a simplifica numitorul sau numitorul (în acest caz numitorul).

Reamintește asta # Păcat ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, sau # Păcat ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Prin urmare, putem înlocui numitorul, care este # 1-cos ^ 2x #, cu # Păcat ^ 2x #:

# ((Sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Acum # Păcat ^ 2x # anulează:

# ((Sinx) (anula (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (anula (sin ^ 2x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Terminați prin luarea limitei acestei expresii:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#