Cum folosiți seria binomică pentru a extinde sqrt (z ^ 2-1)?

Răspuns:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + …

Explicaţie:

Mi-ar plăcea foarte mult un dublu cec, deoarece, ca student de fizică, rareori depășesc # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # pentru x mici, așa că sunt puțin ruginit. Seria binomială este un caz specializat al teoremei binomiale care spune că

# (1 + x) ^ n = suma_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)

Cu # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2)

Ceea ce avem este # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, aceasta nu este forma corectă. Pentru a remedia acest lucru, amintiți-vă # i ^ 2 = -1 # deci avem:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1 -z ^ 2)

Aceasta este acum în forma corectă cu # x = -z ^ 2 #

Prin urmare, extinderea va fi:

#i 1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #