Răspuns:
Utilizați generalizarea formulei binomiale la numere complexe.
Explicaţie:
Există o generalizare a formulei binomiale la numerele complexe.
Formula de serie binomică generală pare să fie
Aceasta este o serie de putere atât de evidentă, dacă vrem să avem șanse ca acest lucru să nu fie diferit, trebuie să stabilim
Nu voi demonstra că formula este adevărată, dar nu este prea greu, trebuie doar să vezi funcția complexă definită de
Cum folosiți seria binomică pentru a extinde (5 + x) ^ 4?
(A + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 este dat de: (a + bx) ^ n = suma_ (r = 0) ^ n ((n1) / (r1 (n-1) = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2 *! 2!) (5) ^ (4) / (4 * 1) (5) x ^ 3 + (4) / (4 * 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + ^ ^ (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^
Cum folosiți teorema binomică pentru a extinde (x + 1) ^ 4?
(a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 astfel a = x și b = 1 obținem: (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 ^ ^ 4 (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1
Cum folosiți seria binomică pentru a extinde sqrt (z ^ 2-1)?
Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + ...] treceți dincolo de (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx pentru micul x, deci sunt puțin ruginit. Seria binomială este un caz specializat al teoremei binomiale care afirmă că (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k) (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k! , aceasta nu este forma corectă. Pentru a rectifica acest lucru, reamintim că i ^ 2 = -1 deci avem: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1 -z ^ 2) este acum în forma corectă cu x = -z ^ 2 Prin urmare, expansiunea va fi: i [1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 + ...] i [1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z