Două numere diferă cu 3. Suma reciprocelor lor este de șapte zecimi. Cum găsiți numerele?

Răspuns:

Există două soluții la o problemă:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Explicaţie:

Aceasta este o problemă tipică care poate fi rezolvată folosind un sistem de două ecuații cu două variabile necunoscute.

Lăsați prima variabilă necunoscută să fie #X# și al doilea # Y #.

Diferența dintre ele este #3#, care are ca rezultat ecuația:

(1) # x-y = 3 #

Sunt reciprocale # 1 / x # și # 1 / y #, suma cărora este #7/10#, care are ca rezultat ecuația:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

De altfel, existența reciprocelor necesită restricții:

# ori! = 0 # și #Y! = 0 #.

Pentru a rezolva acest sistem, hai să folosim metoda substituției.

Din prima ecuație putem exprima #X# in termeni de # Y # și să înlocuiască a doua ecuație.

Din ecuația (1) putem deduce:

(3) # x = y + 3 #

Înlocuiți-l în ecuația (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

În caz contrar, aceasta necesită o altă restricție:

# Y + 3! = 0 #, acesta este #Y = -! 3 #.

Utilizarea numitorului comun # 10y (y + 3) # și având în vedere doar numeratorii, transformăm ecuația (4) în:

# 10y + 10 (y + 3) = 7Y (y + 3) #

Aceasta este o ecuație patratică care poate fi rescrisă ca:

# 20Y + 30 = 7Y ^ 2 + 21Y # sau

# 7Y ^ 2 + y-30 = 0 #

Două soluții la această ecuație sunt:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

sau

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Deci, avem două soluții pentru # Y #:

# Y_1 = 2 # și # Y_2 = -30/14 = -15/7 #

În mod corespunzător, folosind # X = y + 3 #, concluzionăm că există două soluții la un sistem:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

În ambele cazuri #X# este mai mare decât # Y # de #3#, astfel încât prima condiție a unei probleme este îndeplinită.

Să verificăm a doua condiție:

(a) pentru o soluție # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - verificat

(b) pentru o soluție # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - verificat

Ambele soluții sunt corecte.