Răspuns:
Linia tangentă este paralelă cu linia tangentă #X# axa atunci când panta (de aici # Dy / dx #) este zero și este paralelă cu # Y # axa atunci când panta (din nou, # Dy / dx #) se duce la # Oo # sau # # -OO
Explicaţie:
Vom începe prin a găsi # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7)
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Acum, # dy / dx = 0 # atunci când este un nuimerator #0#, cu condiția ca acest lucru să nu facă și numitorul #0#.
# 2x + y = 0 # cand #y = -2x #
Avem acum două ecuații:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Rezolvați (prin înlocuire)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 - 2 ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Utilizarea #y = -2x #, primim
Tangenta la curbă este orizontală în cele două puncte:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # și # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Observați că aceste perechi nu fac, de asemenea, numitorul # Dy / dx # egal cu #0#)
Pentru a găsi punctele în care tangenta este verticală, faceți numitorul # Dy / dx # egal tpo #0# (fără a face de asemenea numărul de numerar #0#).
Am putea trece prin soluție, dar simetria ecuației pe care o vom obține:
# X = -2y #, asa de
#y = + - sqrt21 / 3 #
iar punctele de pe curba la care tangenta este verticală sunt:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # și # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Apropo. Pentru că avem tehnologia, aici este graficul acestei elipse rotite: (Rețineți că # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1,528 # pe care îl puteți vedea pe grafic.)
grafic {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Răspuns:
Folosind numai matematica de școală primită
Tangente paralele cu axa x la:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) și (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangente paralele cu axa y la:
# {7/3}, sqrt {7/3}) și (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Explicaţie:
M-am uitat la răspunsul lui Jim, care arată ca un tratament frumos, calcul standard. Dar nu am putut să mă simt trist pentru toți colegii de mijloc din țara Socratic care doresc să găsească tangente de curbe algebrice, dar sunt încă ani de la calcul.
Din fericire, pot face aceste probleme folosind doar Algebra I.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Ar putea fi un pic complicat pentru un prim exemplu, dar să mergem cu asta. Ne scriem curba #f (x, y) = 0 # Unde
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Hai sa luam # (R, s) # ca punct pe # F #. Vrem să investigăm # F # lângă # (R, s) # așa că scriem
= f (r + (x-r), s + (y-s)) #
= (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s +
Ne extindem, însă nu extindeți termenii diferiți # x-r # și # Y-s #. Vrem să-i păstrăm pe aceia intaci, astfel încât să putem experimenta eliminarea lor mai târziu.
(xs) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (xr) + (xr) ys) + (ys) ^ 2-7 #
(xs) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
(x-r) (y-s) (y-s) + (x-r)
Am spus # (R, s) # este on # F # asa de #f (r, s) = 0 #.
(x-r) (y-s) + (x-r) (x-r)
Am sortit termenii după grade, și putem experimenta cu aproximări la # F # lângă # (R, s) # prin scăderea gradelor mai mari. Ideea este când #(X y)# e aproape # (R, s) # atunci # x-r # și # Y-s # sunt mici, iar pătratele și produsul lor sunt încă mai mici.
Să generăm doar câteva aproximări # F #. De cand # (R, s) # este pe curbă, aproximarea constantă, scăderea tuturor diferențelor, este
# f_0 (x, y) = 0 #
Acest lucru nu este deosebit de interesant, dar ne spune în mod corect niște puncte apropiate # (R, s) # va da o valoare aproape de zero pentru # F #.
Să devenim mai interesanți și să păstrăm termenii liniari.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r)
Când setăm acest lucru la zero, obținem cea mai bună aproximare liniară la # F # lângă # (R, s), # care este linie tangentă la # F # la # (R, s). # Acum ajungem undeva.
(2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Putem considera și alte aproximări:
(x-y) + (x-r) ^ 2 (x, y) = (2r + s)
(x-r) (y-s) + (x-r) (y-s)
Acestea sunt tangente de ordin mai înalt, cele pe care studenții de matematică din colegiu nu reușesc niciodată să le atingă. Am trecut deja dincolo de calculul colegiilor.
Există mai multe aproximări, dar sunt avertizat că acest lucru devine mult timp. Acum, că am învățat cum să facem calculul utilizând numai Algebra I, să facem problema.
Vrem să găsim punctele în care linia tangentă este paralelă cu #X# axa și # Y # axă.
Am găsit linia noastră tangentă la # (R, s) # este
(2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
În paralel cu #X# axa înseamnă o ecuație #y = text {constant} #. Deci, coeficientul #X# trebuie să fie zero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # este pe curba astfel #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2-7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
De cand # S = -2R # punctele sunt
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) și (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
În mod similar paralel cu axa y înseamnă # 2s + r = 0 # care ar trebui să schimbe doar x și y datorită simetriei problemei. Deci celelalte puncte sunt
# {7/3}, sqrt {7/3}) și (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Verifica.
Cum să verificați? Să facem un complot alfa.
paragraful x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3} }
Arata bine. Calcul pe curbe algebrice. Foarte bine pentru școala de mijloc.
