Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Răspuns:

# f (x) = 2n (x ^ 2 + 3) -x # are un minim local pentru # X = 1 # și un maxim local pentru # X = 3 #

Explicaţie:

Noi avem:

# f (x) = 2n (x ^ 2 + 3) -x #

funcția este definită în toate # RR # la fel de # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Putem identifica punctele critice prin găsirea unde primul derivat este egal cu zero:

(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

astfel încât punctele critice sunt:

# x_1 = 1 # și # x_2 = 3 #

Întrucât numitorul este întotdeauna pozitiv, semnul #f '(x) # este opusul semnului numărătorului # (X ^ 2-4x + 3) #

Acum știm că un polinom al doilea ordin cu un coeficient pozitiv pozitiv este pozitiv în afara intervalului cuprins între rădăcini și negativ în intervalul dintre rădăcini, astfel:

#f '(x) <0 # pentru #x în (-oo, 1) # și # x în (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # pentru #x în (1,3) #

Avem atunci asta #f (x) # este în scădere în # (- oo, 1) #, crescând în #(1,3)#, iar din nou în scădere # (3, + oo) #, astfel încât # x_1 = 1 # trebuie să fie un minim local și # X_2 = 3 # trebuie să fie un maxim local.

grafic {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}