Care este rădăcina pătrată de 90?

Răspuns:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~ ~ 1039681/109592 ~ ~ 9.48683298051 #

Explicaţie:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # este un număr irațional undeva între #sqrt (81) = 9 # și #sqrt (100) = 10 #.

De fapt, din moment ce #90 = 9 * 10# este de formă #N (n + 1) # are o expansiune regulată continuă a formei # N; bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 /..)))))) #

O modalitate distractivă de a găsi aproximări raționale este folosirea unei secvențe întregi definite de o recurență liniară.

Luați în considerare ecuația cuadratoare cu zerouri # 19 + 2sqrt (90) # și # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (alb) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (alb) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (alb) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Asa de:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Utilizați această pentru a obține o secvență:

(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n)

Primii câțiva termeni din această secvență sunt:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Raportul dintre termenii succesivi va tinde să # 19 + 2sqrt (90) #

De aici:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #