Rezolvați ecuația diferențială: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Discutați despre ce fel de ecuație diferențială este aceasta și când se poate ivi?

Răspuns:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Explicaţie:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

cel mai bine scris ca

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 triunghi qquad #

care arată că aceasta este o ecuație diferențială omogenă liniară de ordinul doi

are o ecuație caracteristică

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

care pot fi rezolvate după cum urmează

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

aceasta este o rădăcină repetată, deci soluția generală este în formă

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

acest lucru este non-oscilant și modelează un fel de comportament exponențial care depinde într-adevăr de valoarea lui A și a lui B. S-ar putea presupune că ar putea fi o încercare de a modela interacțiunea cu populația sau cu pradă / pradă, dar nu pot spune nimic foarte specific.

arată instabilitate și asta e tot ce am putut să spun despre asta

Răspuns:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Explicaţie:

Ecuația diferențială

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

este o ecuație de coeficient constant constant omogen.

Pentru aceste ecuații soluția generală are structura

#y = e ^ {lambda x} #

Înlocuirea pe care o avem

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Aici # e ^ {lambda x} ne 0 # deci soluțiile trebuie să respecte

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Rezolvarea obținem

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Atunci când rădăcinile se repetă, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # este, de asemenea, soluție. In caz de # N # rădăcini repetate, vom avea ca soluții:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # pentru # I = 1,2, cdots, n #

Astfel, pentru a menține numărul de condiții inițiale, le includem ca soluții independente.

În acest caz, avem

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

care are ca rezultat

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Aceste ecuații apar atunci când se modelează sisteme de parametrii liniari liniari, cum ar fi cele găsite în teoria circuitelor liniare sau în mecanica liniară. Aceste ecuații sunt tratate în mod normal utilizând metode operaționale algebrice cum ar fi metodele Laplace Transform