Care este ecuația liniei tangente de f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 la x = 5?

Ecuația liniei tangente are forma:

# Y = culoare (portocaliu) (a) x + culoare (violet) (b) #

Unde #A# este panta acestei linii drepte.

Pentru a găsi panta acestei linii tangente la #f (x) # la punct # X = 5 # ar trebui să diferențiem #f (x) #

#f (x) # este o funcție determinantă a formei # (U (x)) / (v (x)) #

Unde #U (x) = x-3 # și #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (albastru) (f '(x) = (u' (x) v (x) -V '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#U '(x) = X'-3' #

#color (roșu) (u '(x) = 1) #

#v (x) # este o funcție compusă, așa că trebuie să aplicăm regula lanțului

lăsa #G (x) = x ^ 2 # și #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (roșu) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#G '(x) = 2x # atunci

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (roșu) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (roșu) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (albastru) (f '(x) = (u' (x) v (x) -V '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4.2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

simplificarea factorului comun # x-4 # între numitor și numitor

#color (albastru) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Deoarece linia tangentă trece prin punct # X = 5 # astfel încât să găsim valoarea pantei #A# prin înlocuirea # X = 5 # în # f '(x) #

#color (portocaliu) (a = f '(5)) #

= #A (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#color (portocaliu) (a = -3) #

Având în vedere abscisa punctului de tangență #color (maro) (x = 5) # permite

vă permite să găsiți ordonată # Y = f (5) #

#color (maro) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#color (maro) (y = 2) #

Având coordonatele punctului de tangență #color (maro) ((5; 2)) # și panta #color (portocaliu) (a = -3) # sa gasim #color (violet) (b) #

permite înlocuirea tuturor valorilor cunoscute din ecuația liniei tangente pentru a găsi o valoare #color (violet) (b) #

#color (maro) (y) = culoare (portocaliu) (a) culoare (maro) (x) + culoare (violet) (b) #

# 2 = -3 (5) + culoare (violet) (b) #

# 2 = -15 + culoare (violet (b) #

# 17 = culoare (violet) (b) #

prin urmare, ecuația liniei tangente la punct #color (maro) ((5; 2)) # este:

# Y = -3x + 17 #