Cum se utilizează primul test derivat pentru a determina extremele locale y = sin x cos x?

Răspuns:

Extrema pentru # Y = sin (x) cos (x) # sunteți

# X = pi / 4 + NPI / 2 #

cu # N # un număr întreg relativ

Explicaţie:

Fi #f (x) # funcția reprezentând variația lui # Y # cu repetarea la #X#.

Fi #f '(x) # derivatul lui #f (x) #.

#fa)# este panta #f (x) # curba la # x = un # punct.

Când panta este pozitivă, curba crește.

Când panta este negativă, curba scade.

Atunci când panta este nulă, curba rămâne la aceeași valoare.

Când curba atinge un extremum, se va opri din ce în ce mai mare / scădere și începe să scadă / să crească. Cu alte cuvinte, panta va trece de la pozitiv la negativ - sau negativ la pozitiv - trece prin valoarea zero.

Prin urmare, dacă căutați extrema unei funcții, ar trebui să căutați valorile nula ale derivatului.

N.B. Există o situație în care derivatul este nul, dar curba nu atinge un extremum: se numește un punct de inflexiune. curba va înceta momentan să crească / să scadă și apoi să-și reia creșterea / scăderea. Asa ca ar trebui sa verificati daca semnul pantei se modifica in jurul valorii sale nula.

Exemplu: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (DCOS (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Acum, pentru care avem formula #f '(x) #, vom căuta valorile sale nula:

(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2

Soluțiile sunt # Pi / 4 + NPI / 2 # cu # N # un număr întreg relativ.

Răspuns:

Chiar dacă intenționăm să folosim primul test derivat, merită observat acest lucru #y = 1/2 sin (2x) #.

Explicaţie:

După ce am făcut această observație, nu avem nevoie de calcul pentru a găsi extremele.

Ne putem baza pe cunoștințele noastre despre trigonometrie și pe graficele funcțiilor sinusoidale

Valoarea maximă (de 1/2) va avea loc când # 2x = pi / 2 + 2pik # sau când #x = pi / 4 + pik # pentru # # K un număr întreg.

Minimul apare la # x = 3pi / 4 + pik # pentru # # K un număr întreg.

Putem folosi derivatul, dar nu avem nevoie de el.

Utilizarea derivatului

După ce a fost rescris # Y #, putem vedea rapid acest lucru #y '= cos (2x) #

Deci, cifrele critice pentru # Y # sunteți # 2x = pi / 2 + 2pik # și # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (când este cosinusul #0#) sau

# x = pi / 4 + pik # și # x = (3pi) / 4 + pic #

Verificarea semnului #y '= cos (2x) #, vom găsi valori maxime la primul set de numere critice și valori minime la al doilea.