De ce este utilă completarea pătratului? + Exemplu

Răspuns:

Pentru a simplifica expresiile patratice astfel încât să devină solvabile cu rădăcini pătrate.

Explicaţie:

Completarea pătratului este un exemplu de transformare Tschirnhaus - utilizarea unei substituții (deși implicit) pentru a reduce o ecuație polinomică într-o formă mai simplă.

Deci, dat:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # cu #a! = 0 #

am putea scrie:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (alb) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (alb) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac)

#color (alb) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)

#color (alb) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b) + sqrt

(2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (# 2)

De aici:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Asa de:

# x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Așa că am început cu o ecuație patratică în forma:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

am ajuns într-o formă # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # cu #t = (2ax + b) # și # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminând termenul liniar, lăsând doar termeni pătrat.

Atâta timp cât suntem fericiți în calcularea rădăcinilor pătrate, putem rezolva acum orice ecuație patratică.

Completarea pătratului este de asemenea utilă pentru obținerea ecuației unui cerc, a unei elipse sau a unei alte secțiuni conice în formă standard.

De exemplu, dat fiind:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

completarea pătratului pe care îl găsim:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

permițându-ne să identificăm această ecuație ca pe un cerc cu centru #(2, -3)# și raza #5#.