Cum scrieți un polinom cu funcție de grad minim în formă standard cu coeficienți reali ale căror zerouri includ -3,4 și 2-i?

Răspuns:

# X (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) cu #aq în RR #.

Explicaţie:

Lăsa # P # fi polinomul despre care vorbești. presupun #P! = 0 # sau ar fi banal.

P are coeficienți reali, deci #P (alfa) = 0 => P (baralfa) = 0 #. Aceasta înseamnă că există o altă rădăcină pentru P, #bar (2-i) = 2 + i #, prin urmare, pentru acest formular # P #:

(A2) * (X-4) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a-4) * Q (X) # cu #a_j în NN #, # Q în RR X # și #a în RR # pentru că vrem # P # pentru a avea coeficienți reali.

Vrem gradul de # P # să fie cât mai mic posibil. Dacă # (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) atunci #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sumă (a_j + 1) + deg (Q). #Q! = 0 # asa de #deg (Q)> = 0 #. Dacă vrem # P # pentru a avea cel mai mic grad posibil, atunci #deg (Q) = 0 # (# Q # este doar un număr real # Q #), prin urmare #deg (P) = deg (R) # și aici putem chiar să spunem asta #P = R #. #deg (P) # vor fi cât mai mici posibil dacă fiecare #a_j = 0 #. Asa de #deg (P) = 4 #.

Deci, pentru moment, # X (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i). Să dezvoltăm asta.

# X (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) în RR X. Deci această expresie este cea mai bună # P # putem găsi cu aceste condiții!