Cum se integrează sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Răspuns:

(x + 2) / 2) + 2 = (2 + 4x) = dx = sinh (2cosh ^

Explicaţie:

Deoarece este mai ușor să se rezolve doar unul #X# sub o rădăcină pătrată, finalizăm pătratul:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4)

Acum trebuie să facem o substituție trigonometrică. Voi folosi funcțiile hiperbolice trig (deoarece integralele secante nu sunt de obicei foarte drăguțe). Vrem să folosim următoarea identitate:

# Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Pentru a face acest lucru, vrem # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Putem rezolva pentru #X# pentru a obține ce substituție avem nevoie:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Integrarea cu privire la # # Teta, trebuie să înmulțim cu derivatul lui #X# cu privire la # # Teta:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt (2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta)

= (2) = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta =

Acum putem folosi identitatea # Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta)

Acum folosim identitatea:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2teta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Am putea face o substituție explicită u pentru # 2cosh (2teta) #, dar este destul de evident că răspunsul este #sinh (2teta) #:

# = Sinh (2teta) -2theta + C #

Acum trebuie să anulam înlocuirea. Putem rezolva pentru # # Teta a obține:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Asta da:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Cum se integrează int x ^ lnx?

X ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Începem cu o substituție u cu u = ln (x). Vom diviza apoi derivatul lui u pentru a se integra cu privire la u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Acum avem nevoie de rezolvare pentru x în termeni de u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u (e ^ u) 2 + u) du S-ar putea să ghiciți că acest lucru nu are un element anti-derivat elementar și că veți avea dreptate. Putem totuși folosi formularul pentru funcția de eroare imaginară, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Pentru a obține integralul nostru în aceast

Cum se integrează (x ^ 2-9) ^ (3/2) dx?

Rezolvat! x ^ 3/4 sqrt (x ^ 2-9) -45 / 8x sqrt (x ^ 2-9) + 243 / 8ln (x + sqrt (x ^ 2-9) (sec u) ^ 5

Cum se integrează int e ^ x sinx cosx dx?

Xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Mai întâi putem folosi identitatea: 2sinthetacostheta = sin2x care dă: 2int e ^ xsin (2x) dx Acum putem folosi integrarea prin parti. Formula este: int (x) g '(x) dx = f (x) g (x) 2x) și g '(x) = e ^ x / 2. Aplicând formula, primim: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / , de data aceasta cu f (x) = cos (2x) și g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2in (2x) (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-xx (2x) 2int sin (2x) e ^ x dx Acum avem integrala pe ambele parti ale egalitatii, asa ca o putem rezolva ca o ecuatie. Mai întâi, adăugăm de 2 ori int