Cum se integrează int e ^ x sinx cosx dx?

Răspuns:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Explicaţie:

Mai întâi putem folosi identitatea:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

care dă:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Acum putem folosi integrarea prin părți. Formula este:

(x) f (x) g (x) dx = f (x)

voi permite #f (x) = sin (2x) # și #G '(x) = e ^ x / 2 #. Aplicând formula, obținem:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x /

Acum putem aplica o integrare de părți, din nou, de data aceasta #f (x) = cos (2x) # și #G '(x) = e ^ x #:

(2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x)

(2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x)

Acum avem integrala pe ambele parti ale egalitatii, asa ca o putem rezolva ca o ecuatie. În primul rând, adăugăm 2 ori integritatea în ambele părți:

(2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x +

Din moment ce am dorit o jumătate ca coeficientul pe integralul original, împărțim ambele părți prin #5#:

(2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Răspuns:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Explicaţie:

Noi căutăm:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Care utilizează identitatea:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Putem scrie:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

În cazul în care pentru comoditate menționăm:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, și # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Acum, vom efectua o integrare de părți încă o dată.

Lăsa # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x,

Apoi conectați-vă la formula IBP obținem:

(1/2 cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Acum avem două ecuații simultane în două necunoscute #ESTE#. și #IC#, înlocuind astfel B în A avem:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# \\\\\\\\ "

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Duce la:

# I = 1/2 I_S + C #

2

1