Cum se integrează int x ^ lnx?

Răspuns:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Explicaţie:

Începem cu o u-substituție # U = ln (x) #. Apoi divizăm prin derivatul lui # U # să se integreze cu privire la # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Acum trebuie să rezolvăm #X# in termeni de # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u

S-ar putea să ghiciți că acest lucru nu are un element antiderivitar elementar și că veți avea dreptate. Cu toate acestea, putem folosi formularul pentru funcția de eroare imaginară, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Pentru a obține integramentul nostru în această formă, putem avea doar o variabilă pătrată în exponentul lui # E #, deci trebuie să completați pătratul:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = -1 / 4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) (u + 1/2) ^ 2) du #

Acum putem introduce o substituție u cu # T = u + o jumătate #. Derivatul este just #1#, deci nu trebuie să facem nimic special pentru a se integra în ceea ce privește # T #:

e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ 1/4) SQRTPI / 2 * erfi (t) + C #

Acum putem anula toate substituțiile pentru a obține:

#E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #