Cum de a dovedi că seria este convergentă?

Răspuns:

Convertește prin testul de comparație directă.

Explicaţie:

Putem folosi testul de comparație directă, în măsura în care avem

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, seriile încep de la unu.

Pentru a utiliza testul de comparație directă, trebuie să dovedim acest lucru # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # este pozitiv pe # 1, oo) #.

Mai întâi, rețineți că în intervalul respectiv # 1, oo), cos (1 / k) # este pozitiv. Pentru valori de #X # # COSX este în primul cadran (și, prin urmare, pozitiv). Păi, pentru #k> = 1, 1 / k asa de, #cos (1 / k) # este într-adevăr pozitivă.

Mai mult, putem spune #cos (1 / k) <= 1 #, la fel de #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Apoi, putem defini o nouă secvență

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # pentru toți # K. #

Bine, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Știm că aceasta converge prin # # P-test de serie, este în formă # Sum1 / k ^ p # Unde # P = 2> 1 #.

Apoi, din moment ce seria de dimensiuni mai mari se converge, la fel trebuie și seria mai mică.

Răspuns:

Se converge prin testul comparativ direct (vezi mai jos pentru detalii).

Explicaţie:

Recunoașteți că intervalul de cosinus este -1,1. Verificați graficul din #cos (1 / x) #:

grafic {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

După cum puteți vedea, maxim valoarea pe care o vom atinge va fi 1. De vreme ce încercăm doar să dovedim convergența aici, să stabilim numărul de numerar la 1, lăsând:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Acum, aceasta devine o problemă foarte simplă de testare comparativă directă. Reamintește ce face testul comparativ direct:

Luați în considerare o serie arbitrară #un# (nu știm dacă converge / diverge) și o serie pentru care știm convergența / divergența, # # B_n:

Dacă #b_n> a_n # și # # B_n converge apoi #un# converge de asemenea.

Dacă #b_n <a_n # și # # B_n diverg, atunci #un# diferă de asemenea.

Putem compara această funcție cu #b_n = 1 / k ^ 2 #. Putem face acest lucru pentru că știm că se converge (din cauza testului p).

Deci, de atunci # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, și # 1 / k ^ 2 # converge, putem spune că seria converge

Dar, așteptăm, am demonstrat doar că această serie converge atunci când numitorul = 1. Ce se întâmplă cu toate celelalte valori #cos (1 / k) # ar putea lua? Amintiți-vă că 1 este maxim valoare care ar putea fi luată de numerotator. Deci, deoarece am dovedit că acest lucru converge, am demonstrat indirect că această serie a convertit pentru orice valoare în numărător.

Sper că a ajutat:)