Găsiți valorile lui x pentru care seria următoare este convergentă?

Răspuns:

#1<>

Explicaţie:

Când încercați să determinați raza și / sau intervalul de convergență a seriilor de putere cum ar fi acestea, este mai bine să utilizați testul Ratio, care ne spune pentru o serie # # Suma_n, noi lăsăm

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Dacă #L <1 # seria este absolut convergentă (și, prin urmare, convergentă)

Dacă #L> 1 #, seria divergente.

Dacă # L = 1, # Testul Ratio este neconcludent.

Cu toate acestea, pentru Seria Power, sunt posibile trei cazuri

A. Seria de putere converge pentru toate numerele reale; intervalul său de convergență este # (- oo, oo) #

b. Seria de putere converge pentru un anumit număr # x = a; # raza sa de convergență este zero.

c. Cel mai frecvent caz, seria de putere converge pentru # | X-a |<> cu un interval de convergență de # O-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Astfel, dacă # | 2x-3 | <1 #, seria converge. Dar avem nevoie de asta sub forma # | X-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1 / -2 # duce la convergență. Raza de convergență este # R = 1/2 #

Acum, să determinăm intervalul:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Trebuie să conectăm # x = 1, x = 2 # în seria originală pentru a vedea dacă avem convergență sau divergență la aceste puncte finale.

(n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = suma_ (n = 0) ^ oo (-1) diverge, Summand-ul nu are nici o limită și cu siguranță nu merge la zero, ci doar suplimentează semne.

# x = 2: suma_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = suma_ (n = 0) ^ oo1 # se deosebește de Testul de divergență, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Prin urmare, seria converge pentru #1<>

Putem folosi testul raportului care spune că dacă avem o serie

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

este cu siguranță convergent dacă:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

În cazul nostru, # A_n = (2x-3) ^ n #, așa că verificăm limita:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) anula ((2x-3) ^ n)) / anula ((2x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (n-> oo) |-2x 3 | = 2x-3 #

Deci, trebuie să verificăm când # | 2x-3 | # e mai puțin decât #1#:

Am facut o greseala aici, dar raspunsul de mai sus are aceeasi metoda si un raspuns corect, asa ca trebuie doar sa te uiti la asta.