Care este antiderivatul lui 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Răspuns:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) +

Explicaţie:

Așa că avem aici integrale:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Iar forma reciprocă pătratică pare să sugereze că substituția trigonometrică va funcționa aici. Așa că mai întâi completați pătratul pentru a obține:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Apoi aplicați substituția #u = x-1 # pentru a elimina linia:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Deci, putem schimba în siguranță variabilele fără efecte secundare nedorite:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 + 1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Acum, aceasta este forma ideală pentru executarea unei substituții trigonometrice; # u ^ 2 + 1 # sugerează Identitatea Pitagoreană # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, deci aplicăm înlocuirea #u = tantheta # pentru a simplifica numitorul:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Deci, integralul devine:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Acum, folosim formula cu unghi dublu pentru # # cos pentru a face acest antiderivativ mai ușor de gestionat:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Apoi puneți acest lucru în integrale:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (și redeschiderea acesteia cu formula cu unghi dublu pentru #păcat#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Acum, # x-1 = u = tanul theta #

# rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tanul theta * cos theta #

#rArr păcatul theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

În cele din urmă, ajungem la punct:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

= 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) +