Cum se dovedește: secx - cosx = sinx tanx?

Utilizarea definițiilor din # # Secx și # # Tanx, împreună cu identitatea

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, noi avem

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# sinx sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Răspuns:

Mai întâi convertiți toți termenii în # # Sinx și # # COSX.

În al doilea rând, aplicați regulile privind suma fracțiunilor la LHS.

În cele din urmă, aplicăm identitatea pithagoreană: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Explicaţie:

Întâi în întrebarea acestor forme este o idee bună să convertiți toți termenii în sine și cosinus: deci, înlocuiți-le #tan x # cu #sin x / cos x #

și înlocuiți #sec x # cu # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # devine # 1 / cos x - cos x #.

RHS, # sin x xan x # devine #sin x sin sin x / cos x # sau # sin ^ 2 x / cos x #.

Acum aplicam reguli privind suma fracțiunilor la LHS, făcând o bază comună (la fel ca fracțiunea de număr ca #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x - cos x => 1 / cos x cos 2 x cos cos = = {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

În cele din urmă, aplicăm identitatea pithagoreană: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (una dintre identitățile cele mai utile pentru aceste tipuri de probleme).

Rearanjând-o, ajungem # 1 cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Înlocuim # 1- cos ^ 2 x # în LHS cu # sin ^ 2 x #.

LHS = {Cos - ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # care este egal cu RHS modificat.

Astfel LHS = RHS Q.E.D.

Rețineți că acest model general de a obține lucruri în termeni de sine și cosinus, folosind regulile fracțiunii și identitatea pitagoreană, deseori rezolvă aceste tipuri de întrebări.

Dacă dorim acest lucru, putem modifica și partea din dreapta pentru a se potrivi cu partea stângă.

Ar trebui să scriem # # Sinxtanx in termeni de # # Sinx și # # COSX, folosind identitatea #color (roșu) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Acum, folosim identitatea pithagoreană, care este # Păcat ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Putem modifica acest lucru pentru a rezolva problema # Păcat ^ 2x #, asa de: #color (roșu) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Păcat ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Acum, doar împărțiți numărul de numerar:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Utilizați identitatea reciprocă #color (roșu) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Răspuns:

Este chiar atât de simplu …

Explicaţie:

Folosind identitatea # Tanx = sinx / cosx #, înmulțiți # # Sinx pe identitate pentru a obține:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Apoi, multiplicați # # COSX prin ecuația de a obține:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Având în vedere că # # Secx este invers # # COSX.

În cele din urmă, folosind identitatea trigonometrică # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, răspunsul final ar fi:

# Păcat ^ 2x = sin ^ 2x #