Cum se dovedește (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Vom avea nevoie de aceste două identități pentru a completa dovada:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Voi începe cu partea dreaptă, apoi o veți manipula până se va arăta partea stângă:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (alb) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (alb) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (alb) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (alb) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (roșu) (* sinx / sinx) #

#color (alb) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (alb) (RHS) = culoare (sinx + sinxcosx) / (2sinx) (roșu) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (alb) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (alb) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (alb) (RHS) = LHS #

Asta e dovada. Sper că acest lucru a ajutat!

Căutăm să dovedim identitatea:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Luați în considerare LHS a expresiei și folosiți definiția tangentei:

# LHS = (tanx + sinx) / (2 tanx) #

(sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

(cosx / sinx) (sinx / cosx + sinx) / 2) #

cos / cosx / sinx * sinx / cosx / cosx / sinx * sinx) / 2 #

# (1 + cosx) / 2 #

Acum, ia în considerare RHS și folosiți identitatea:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Dându-ne:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Prin urmare:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (Anula (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = # RHS