Răspuns:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k sau x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # pentru întreg # K. #
Explicaţie:
Am lucrat în două moduri diferite, dar cred că această a treia cale este cea mai bună. Există mai multe formule cu unghi dublu pentru cosinus. Să nu fim ispitiți de vreunul dintre ei. Să evităm și compararea ecuațiilor.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 păcat 2x = -2 #
Combinația liniară dintre cosinus și sinus este o cosinusă schimbată în fază.
Lăsa # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # și
# theta = text {Arc} textul {tan} (2/1) #
Am indicat tangenta inversă principală, aici în primul cvadrant, în jur # Theta = 63,4 ^ # Circ. Suntem siguri
# r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r păcatul theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Așa că ne putem rescrie ecuația
#sqrt {5} (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {
# cos 2x cos theta + păcat 2x păcat theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = păcat (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Amintiți-vă întotdeauna soluția generală la #cos x = cos a # este # x = a a + 360 ^ circ k quad # pentru întreg # # K.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
##########################################
Luând semnele una câte una, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k sau x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # este o constantă pe care o putem încerca să obținem o expresie mai bună pentru:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (circa 45)} / {1- tan (arctan (2)
Noi stim # # Phi se află în al doilea cadran, nu în intervalul obișnuit al valorii principale.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Asta se pare că nu contează pentru că noi adăugăm # 180 ^ circ k # la # # Phi în soluția generală oricum. Punând totul împreună, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k sau x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Nu trebuie să fim meticuloși cu privire la valoarea principală a arctanului; de când adăugăm # 180 ^ circ k # orice valoare va face. Am putea scrie primul # X = arctan (-3) # cu # 180 ^ circ k # implicit, dar să lăsăm aici.