Care este cel mai mic întreg n astfel încât n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Răspuns:

# N = 8075 #

Explicaţie:

Lăsa #v_p (k) # fie multiplicitatea lui # P # ca factor de # # K. Acesta este, #v_p (k) # este cel mai mare întreg astfel încât # P ^ (v_p (k)) | k #.

observaţii:

• Pentru orice #k în ZZ ^ + # și # P # prim, avem #v_p (k!) = suma_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Acest lucru poate fi ușor dovedit prin inducție)

• Pentru orice număr întreg #k> 1 #, noi avem # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Acest lucru este intuitiv, ca multipli de putere #2# apar mai frecvent decât multiplii de puteri echivalente ale #5#, și poate fi dovedit riguros folosind un argument similar)

• Pentru #j, k în ZZ ^ + #, noi avem #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # pentru orice divizor principal # P # de # J #.

Continuând, scopul nostru este să găsim cel mai mic număr întreg # N # astfel încât # 10 ^ 2016 |! N #. La fel de # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, apoi de a treia observație, trebuie doar să confirmăm acest lucru # 2016 <= v_2 (n!) # și # 2016 <= v_5 (n!) #. A doua observație înseamnă că aceasta din urmă implică prima. Astfel, este suficient să găsim cel mai mic număr întreg # N # astfel încât # v_5 (n!) = suma_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

A găsi # N # vom face o observație care ne va permite să calculam # V_5 (5 ^ k!) #.

Între #1# și # 5 ^ k #, Sunt # 5 ^ k / 5 # multiplii de #5#, fiecare dintre acestea contribuind cel puțin #1# la suma #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Există, de asemenea # 5 ^ k / 25 # multiplii de #25#, fiecare dintre acestea contribuind în plus #1# la suma după numărul inițial. Putem continua în acest mod până când vom ajunge la un singur multiple # 5 ^ k # (care este # 5 ^ k # ea însăși), care a contribuit # # K ori până la sumă. Calculând suma în acest mod, avem

(i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = suma_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Astfel, descoperim asta # v_5 (5 ^ k) = (5 ^ k-1) / 4 #

În cele din urmă, vom găsi # N # astfel încât # v_5 (n!) = 2016 #. Dacă calculam # V_5 (5 ^ k!) # pentru mai multe valori ale # # K, găsim

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

La fel de #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # are nevoie de două "blocuri" de #5^5#, două de #5^4#, patru din #5^3#, și trei #5^2#. Astfel, ajungem

#n = 2 (5 ^ 5) + 2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3)

Un computer poate verifica rapid acest lucru #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Prin urmare #10^2016 | 8075!#, si ca #5|8075!# cu multiplicitate #2016# și #5|8075#, este clar că nici o valoare mai mică nu va fi suficientă.