De ce trebuie să găsiți forma trigonometrică a unui număr complex?

În funcție de ceea ce trebuie să faceți cu numerele complexe, forma trigonometrică poate fi foarte utilă sau foarte spinoasă.

De exemplu, permiteți-vă # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # și # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Să calculam cele două forme trigonometrice:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # și # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # și # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # și # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Astfel, formele trigonometrice sunt:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Plus

Să presupunem că doriți să calculați # Z_1 + z_2 + z_3 #. Dacă utilizați formularul algebric, veți obține

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {

Destul de usor. Încercați acum cu forma trigonometrică …

(cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (pi) 2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

se dovedește că cea mai scurtă cale de a adăuga aceste două expresii este de a rezolva cosines și sines, ceea ce înseamnă … întoarcerea la forma algebrică!

Forma algebrică este adesea cea mai bună formă de alegere în adăugarea de numere complexe.

Multiplicare

Acum încercăm să calculăm # Z_1 * z_2 * # z_3. Utilizarea formelor algebrice necesită o mulțime de calcule enervante. Dar rezolvarea acestui produs cu formele trigonometrice este mai simplă:

(cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (pi) (Pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2) / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Ingredientele care demonstrează că a doua egalitate apar din trigonometrie: cele două formule adiționale

#sin (alfa + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa)

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta)

Multiplicarea numerelor complexe este chiar mai curată (dar nu mai ușoară din punct de vedere conceptual) în formă exponențială.

Într-un anumit sens, forma trigonometrică este un fel de formă între formă algebrică și exponențială. Forma trigonometrică este calea de comutare între aceste două. În acest sens este un fel de "dicționar" pentru a "traduce" formularele.