Care este GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Răspuns:

Cea mai mare divizoare comună a #2^32-2^24+2^16-2^8+1# și #2^8+1# este #1#

Explicaţie:

Rețineți că:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

este un număr prime - de fapt, unul dintre puținele numere prime Fermat.

Deci, singurele factori comuni posibili ai #2^8+1# și #2^32-2^24+2^16-2^8+1# sunteți #1# și #257#.

Cu toate acestea, după cum ați observat în întrebarea:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

este de forma:

(x + y + 5) / (x + y) # (x + y)

Singurul factor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # de #2^40+1# corespunde realității a cincea rădăcină a unității și # (X + y) # nu este în mod automat un factor al restului sfert # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # ai căror alți factori liniari sunt complet ne-reali.

Putem diviza manual # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # de # X + y # pentru a obține un rest de polinom și apoi a înlocui # X = 2 ^ 8 # și # Y = 1 # pentru a verifica dacă acesta nu este un caz special …

(x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 # x ^

Deci, restul este:

# 5y ^ 4 = 5 (culoare (albastru) (1)) ^ 4 = 5 #

Deoarece restul este diferit de zero, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# și #2^8+1# nu au un factor comun mai mare decât #1#.