X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 are o rădăcină x = sqrt (2) + sqrt (3). Care sunt celelalte trei rădăcini și de ce?

Răspuns:

Celelalte trei rădăcini sunt #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, # x = -sqrt (2) + sqrt (3) # și #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. În ceea ce privește motivul, permiteți-mi să vă spun o poveste …

Explicaţie:

Domnul Rational trăiește în orașul Algebra.

Știe toate numerele formularului # M / n # Unde # M # și # N # sunt numere întregi și #n! = 0 #.

El este destul de fericit de rezolvare a polinomilor cum ar fi # 3x + 8 = 0 # și # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, dar există mulți care îl înfruntă.

Chiar și un polinom aparent simplu # X ^ 2-2 = 0 # pare insolubil.

Vecinul lui bogat, dl Real, este milă de el. "Ceea ce aveți nevoie este ceea ce se numește rădăcină pătrată #2#. Iată-te. "Cu aceste cuvinte, domnul Real preia un număr albastru strălucitor misterios numit # # R_2 dlui Rational. Tot ce i se spune despre acest număr este asta # R_2 ^ 2 = 2 #.

Dl Rational se întoarce la studiul său și are un joc cu acest misterios # # R_2.

După puțin timp, el constată că poate adăuga, scădea, multiplica și împărți numerele formularului # a + b R_2 # Unde #A# și # B # sunt raționale și se termină cu numere de aceeași formă. De asemenea, el observă asta # X ^ 2-2 = 0 # are o altă soluție, și anume # # -R_2.

El este acum capabil să rezolve nu numai # X ^ 2-2 = 0 #, dar # X ^ 2 + 2x-1 = 0 # și multe altele.

Multe alte polinoame încă evită soluția. De exemplu, # X ^ 2-3 = 0 #, dar domnul Real este fericit să-i dea un număr verde strălucitor numit # # R_3 care o rezolvă.

Dl Rational descoperă curând că poate să-și exprime toate numerele pe care le poate face # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, Unde #A#, # B #, # C # și # D # sunt raționale.

Într-o zi, domnul Rational are de gând să rezolve # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. El găsește asta # X = R_2 + R_3 # este o soluție.

Înainte de a căuta mai multe soluții, el se lovește de vecinul său, domnule Real. Îi mulțumește dlui Real pentru darul lui # # R_2 și # # R_3, dar are o interogare despre ele. "Am uitat să întreb:", spune el, "Sunt pozitive sau negative?". "Nu credeam că vă pasă", a spus domnul Real. "Atât timp cât rezolvați polinoamele cu coeficienți raționali, nu contează cu adevărat. Regulile pe care le-ați găsit pentru adăugarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea noilor numere funcționează la fel de bine cu oricare dintre ele. denumit # # R_2 este ceea ce numesc majoritatea oamenilor # (2) # -sqrt și cel pe care l-ai chemat # # R_3 este ceea ce numesc majoritatea oamenilor #sqrt (3) #'.

Deci, pentru numerele noi ale formularului domnului Rational # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # nu contează dacă # # R_2 și / sau # # R_3 sunt pozitive sau negative din punctul de vedere al rezolvării polinomilor cu coeficienți raționali.