Rezolvarea acestui lucru folosind integrat riemann?

Răspuns:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # sau # aproximativ 1.302054638 … #

Explicaţie:

Identitatea cea mai importantă pentru rezolvarea oricărei probleme cu produsul infinit îl transformă într-o problemă de sume infinite:

# {prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

ACCENT:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Dar, înainte de a putea face acest lucru, trebuie să ne ocupăm mai întâi de ecuația # frac {1} {n ^ 2} și btw să numim produsul infinit L:

# { Frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) {n}} #

frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} 2}) ^ { frac {1} {n}} #

frac {k ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} }} { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Acum putem converti această sumă într-o sumă infinită:

# { Frac {1} {n} {1} {n {2}} { } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ({ {n}}) #

aplică proprietăți logaritmice:

Frac {1} {n} * ln (1 + frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Și folosind proprietățile limită:

L frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Să numim suma infinită S:

# { Frac {k ^ 2} {n ^ 2}} { frac {k ^ 2} {n ^ 2} #

Și ține minte asta

# L = exp (S) #

Acum, hai să rezolvăm întrebarea dvs., transformând-o de la RIEMANN SUM la a INTEGRALA DEFINITA:

Reamintim că definiția unei sume Riemann este:

ACCENT:

{ frac {a} { frac {b} {n} {n} {n} })) * frac {ba} {n} #

Lăsa

{ frac {ba} {n}})} frac {ba} {n} = lim_ {n to {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2}

Acum lasa = f (x) = ln (1 + x ^ 2) și a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2}

Astfel, b = 1, adică

f ({frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}

Prin urmare,

# { Frac {k ^ 2} {n ^ 2}} { frac {k ^ 2} {n ^ 2} = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Rezolvă pentru # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

folosiți integrarea prin părți:

# int int dx = u int dx - int (u '* int vdx) dx #

Lăsa # u = ln (1 + x ^ 2) și v = 1 #

Apoi, utilizați regula lanțului și derivatul logaritmului natural pentru a obține = 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

și folosiți regula de putere pentru a obține: # int 1dx = x #

(1 + x ^ 2) * x) dx = ln (1 + x ^ 2)

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2}

= xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2}

= xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1-1} {x ^ 2 + 1} Utilizați regula de scădere:

= xn (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1}

= xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1}

Utilizați regula de putere pentru primul integru și cel de-al doilea integral este funcția standard trigonometrică # arctan (x) # (inversul funcției tangente)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Prin urmare, (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Acum rezolvați pentru integrala definită:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

știm că este anti-derivatul # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Prin urmare

= F (1) - F (0) # {x = 0}

#S = 1in (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1)

rețineți că arctanul (1) este de 45 ° sau # frac { pi} {4} # (reamintește triunghiul drept special cu lungimea laturilor 1,1, # Sqrt {2} # și unghiuri de 45 °, 45 °, 90 °) și de asemenea # arctan (0) = 0 #

Prin urmare #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2)

sau # aproximativ 0.263943507354 … #

1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 pi} {2}} #

# {2} frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2}

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Prin urmare, soluția este frac {1} {n} 2 { frac {1} {n {2} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # sau # aproximativ 1.302054638 … #