Două colțuri ale unui triunghi isoscel sunt la (1, 3) și (9, 4). Dacă suprafața triunghiului este de 64, care sunt lungimile laturilor triunghiului?

Răspuns:

Lungimile laturilor triunghiului sunt:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Explicaţie:

Distanța dintre două puncte # (x_1, y_1) # și # (x_2, y_2) # este dată de formula de distanță:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Deci, distanța dintre # (x_1, y_1) = (1, 3) # și # (x_2, y_2) = (9, 4) # este:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

care este un număr irațional puțin mai mare decât #8#.

Dacă una dintre celelalte laturi ale triunghiului avea aceeași lungime, atunci suprafața maximă posibilă a triunghiului ar fi:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Așa că nu poate fi cazul. În schimb, celelalte două părți trebuie să aibă aceeași lungime.

Având un triunghi cu laturi # a = sqrt (65), b = t, c = t #, putem folosi formula lui Heron pentru a-și găsi zona.

Formula de Heron ne spune că zona unui triunghi cu laturi # a, b, c # și semi perimetrul #s = 1/2 (a + b + c) # este dat de:

#A = sqrt (s-s) (s-b) (s-c)) #

În cazul nostru, perimetrul este:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

și formula lui Heron ne spune că:

(65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (alb) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multiplicați ambele capete prin #2# a obține:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Piața ambelor părți pentru a obține:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multiplicați ambele părți prin #4/65# a obține:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transpuneți și adăugați #65/4# la ambele părți pentru a obține:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Luați rădăcina pătrată pozitivă a ambelor părți pentru a obține:

#t = sqrt (266369/260) #

Deci lungimile laturilor triunghiului sunt:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Metodă alternativă

În locul folosirii formulei lui Heron, putem explica următoarele:

Având în vedere că baza triunghiului isoscel are o lungime:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Zona este # 64 = 1/2 "bază" xx "înălțime" #

Deci, înălțimea triunghiului este:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)

Aceasta este lungimea bisectorului perpendicular al triunghiului, care trece prin mijlocul bazei.

Deci celelalte două laturi formează hipotensii a două triunghiuri cu unghi drept cu picioarele #sqrt (65) / 2 # și # (128sqrt (65)) / 65 #

Deci, de Pythagoras, fiecare dintre aceste laturi este de lungime:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260)