Care este semnificația derivatului parțial? Dați un exemplu și ajută-mă să înțeleg pe scurt.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Sper că ajută.

Derivatul parțial este asociat intrinsec variației totale.

Să presupunem că avem o funcție #f (x, y) # și vrem să știm cât variază atunci când introducem o creștere a fiecărei variabile.

Stabiliți idei, făcând #f (x, y) = k x y # Vrem să știm cât de mult este

(x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

În exemplul nostru de funcționare avem

(x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

și apoi

# x (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

alegere #dx, dy # în mod arbitrar mic atunci #dx dy aprox 0 # și apoi

# x (x, y) = k x dx + k y dy #

dar în general

(x, y) = f (x, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy)

(X, y)) / dx dx + 1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)

(X + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f +, y)) / dy dy #

acum a face #dx, dy # în mod arbitrar mic avem

(x, y) dx = f_y (x, y) dy = f (x, y) dy #

astfel încât putem calcula variația totală pentru o anumită funcție, prin calcularea derivatelor parțiale #f_ (x_1), f_ (x_2), cdoturi, f_ (x_n) # și compoziția

## (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdoturi + f_ (x_n) dx_n #

Aici, cantitățile #f_ (x_i) # se numesc derivați parțiali și pot fi de asemenea reprezentați ca

# (parțial f) / (parțial x_i) #

În exemplul nostru

#f_x = (parțial f) / (parțial x) = k x # și

#f_y = (parțial f) / (parțial y) = k y #

NOTĂ

(x, y) = lim ((dx -> 0), (dy -> 0) 0), (di-> 0)) (f (x + dx, y -f dy +) (x, y)) / dx #

(x, y) = lim (dx -> 0), (dy -> 0) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Pentru a completa răspunsul lui Cesareo de mai sus, voi oferi o definiție introductivă mai puțin rigidă din punct de vedere matematic.

Derivatul parțial, vorbind puțin, ne spune cât de mult se va schimba o funcție multi-variabilă atunci când țineți constante alte variabile. De exemplu, să presupunem că ni se dă

#U (A, t) = A ^ 2t #

Unde # U # este funcția de utilitate (fericire) a unui anumit produs, #A# este cantitatea de produs și # T # este timpul în care este folosit produsul.

Să presupunem că societatea care fabrică produsul ar dori să știe cât de multă utilitate poate ieși din ea dacă crește durata de viață a produsului cu 1 unitate. Derivatul parțial va spune companiei această valoare.

Derivatul parțial este în general denotat prin delta litera grecească (#parțial#), dar există și alte notații. Vom folosi #parțial# deocamdata.

Dacă încercăm să găsim cât de mult se schimbă utilitatea produsului cu o creștere de 1 unitate în timp, calculăm derivatul parțial al utilității în funcție de timp:

# (PartialU) / (partialt) #

Pentru a calcula PD, deținem alte constante variabile. În acest caz, tratăm # A ^ 2 #, cealaltă variabilă, ca și cum ar fi fost un număr. Reamintim din calculul introductiv că derivatul unei variante constante o variabilă este doar constanta. Este aceeași idee aici: derivatul (parțial) al # A ^ 2 #, o perioadă constantă # T #, variabila, este doar constanta:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Astfel, se produce o creștere de 1 unitate în timpul utilizării produsului # A ^ 2 # mai multă utilitate. Cu alte cuvinte, produsul devine mai satisfăcător dacă poate fi folosit mai des.

Există multe, mult mai multe de spus despre derivate parțiale - de fapt, cursuri întregi de licență și absolvent pot fi dedicate rezolvării doar a câtorva tipuri de ecuații care implică derivate parțiale - dar ideea de bază este că derivatul parțial ne spune cât de mult modificări variabile atunci când celelalte rămân aceleași.